Interpolazione lineare

Vediamo come operare sull'interpolazione lineare per quanto riguarda l'andamento dei cigli.

Supponiamo la nostra strada dell’altra volta:

Supponiamo una sezione tipo larga 3 metri, con il seguente andamento dei cigli:

Sezione in rettilineo

 Sezione in curva

L’andamento dei cigli, da progetto potrebbe essere costituito dalla sezione in rettifilo tra i due tratti in rettifilo e dalla sezione in curva nei tratti a curvatura costante. Nei tratti  in clotoide, si adotterà una interpolazione.

Progressiva	% sinistra	∆ sinistra	% destra	∆ destra
0	-2.5%	-0.07	-2.5%	-0.07
62.45	-2.5%	-0.07	-2.5%	-0.07
82.45	+2.5%	+0.07	-2.5%	-0.07
91.72	+2.5%	+0.07	-2.5%	-0.07
131.72	-2.5%	-0.07	-2.5%	-0.07
186.47	-2.5%	-0.07	-2.5%	-0.07

Supponiamo che la livelletta, per comodità, sia una salita costante.

Progressiva	quota
0	10.00
186.47	20.00

Supponiamo di battere la progressiva 93.46 sul ciglio sinistro

La quota in asse, a tale progressiva, è presto calcolata

La pendenza sinistra, a questa progressiva, è la seguente:

Identico ragionamento per il ∆:

Infatti, una strada a pendenza 2.28, a 3 metri, dà sempre 0.07 di offset.

Questo ragionamento vale per le proprietà delle moltiplicazioni e delle addizioni.

In pratica, dato che spesso sono riportate i cigli per sezioni intere, facendo uno schema completo dell’andamento dei cigli:

Pk	Quota Asse	delta sx	delta dx	ciglio sx	ciglio dx
0.00	10.00	-0.07	-0.07	9.93	9.93
20.00	11.07	-0.07	-0.07	11.00	11.00
40.00	12.15	-0.07	-0.07	12.08	12.08
60.00	13.22	-0.07	-0.07	13.15	13.15
62.45	13.35	-0.07	-0.07	13.28	13.28
80.00	14.29	0.05	-0.07	14.34	14.22
82.45	14.42	0.07	-0.07	14.49	14.35
87.08	14.67	0.07	-0.07	14.74	14.60
91.72	14.92	0.07	-0.07	14.99	14.85
100.00	15.36	0.04	-0.07	15.40	15.29
120.00	16.44	-0.03	-0.07	16.41	16.37
131.72	17.06	-0.07	-0.07	16.99	16.99
140.00	17.51	-0.07	-0.07	17.44	17.44
160.00	18.58	-0.07	-0.07	18.51	18.51
180.00	19.65	-0.07	-0.07	19.58	19.58
186.47	20.00	-0.07	-0.07	19.93	19.93

Sarebbe lo stesso risultato che otterremo interpolando la sezione prima e la sezione dopo.

Sempre per le ben note proprietà di addizione e moltiplicazione.

Per cui, se è necessario interpolare, occorre avere presente l’andamento dei cigli e, successivamente, agire di interpolazione lineare. L’unico problema che potrebbe  sorgere è in mancanza di informazioni complete sull’andamento dei cigli:

Infatti se io avessi una tabella come segue, e non avessi specificato l’andamento dei cigli:

Pk	Quota Asse	delta sx	delta dx	ciglio sx	ciglio dx
0.00	10.00	-0.07	-0.07	9.93	9.93
20.00	11.07	-0.07	-0.07	11.00	11.00
40.00	12.15	-0.07	-0.07	12.08	12.08
60.00	13.22	-0.07	-0.07	13.15	13.15
80.00	14.29	0.05	-0.07	14.34	14.22
100.00	15.36	0.04	-0.07	15.40	15.29
120.00	16.44	-0.03	-0.07	16.41	16.37
140.00	17.51	-0.07	-0.07	17.44	17.44
160.00	18.58	-0.07	-0.07	18.51	18.51
180.00	19.65	-0.07	-0.07	19.58	19.58
186.47	20.00	-0.07	-0.07	19.93	19.93

La sezione 93.46 verrebbe interpolata in maniera errata (0.04 in luogo di 0.07)

Profilo Altimetrico

Si intende per profilo altimetrico l’andamento della quota di progetto lungo la strada.

Fatto salve tutte le verifiche normative, l’andamento di progetto è una linea spezzata (livelletta) unita da dei raggi di curvatura.

nell’esempio, la strada comincia a quota 10.87, alla progressiva 100 è a quota 35.03, e a progressiva 186.47 (alla fine) è a quota 11.13

Un’autovettura, o il treno,  alla progressiva 100, “farebbe” il salto.

Per questo motivo, si inseriscono delle curve, che possono essere circolari o paraboliche

Per esempio, inserendo un raggio pari a 90, la curva viene smussata.

I programmi per la strumentazione, generalmente, hanno necessità delle livellette e delle curvature, e provvedono autonomamente al calcolo dei punti nei quali la strada è in salita in modo costante, ai punti in cui variano le curvature.

Nel caso della curva in esame:

                                                       progressiva      quota

      PIV Punto             100.000    35.030

      Inizio curva           77.348    29.557

      Dosso                  98.484    32.074

      Fine curva            122.461    28.822

Si vede subito che, a causa della curvatura, la quota si è
abbassata e che il punto di colmo non è alla progressiva 100, ma alla
progressiva 98.48.

Ci sono due tipi di curve, quella circolare e quella parabolica. Occorre verificare nel progetto quale curva vada inserita.




Alcuni programmi per strumentazione, tuttavia, hanno

necessità di inserire anche le informazioni di inizio, dosso e fine curva.

Poligonali o meglio : Reti

Prendo in esempio Civil Design, in quanto è il software che conosco meglio.
Lo stesso identico ragionamento può essere effettuato con Sierra, Leonardo, Meridiana, TGO, TBC, LeicaGoeoffice, Carazzai, Tabula, ed anche Pregeo.

Prendendo il file di esempio, nella sottocartella esempi di civil design, c'è una poligonale per strati, che può essere calcolata in molti, moltissimi modi.

Citando il manuale:
- nessuna compensazione: i dati del rilievo verranno elaborati senza nessuna compensazione (nel caso di calcolo 3D non vengono applicate correzioni di curvature terrestre);

- compensazione ai minimi quadrati vincolata: si usa in genere la compensazione ai minimi quadrati quando le poligonali formano una rete complessa e si hanno misure eccedenti rispetto a quelle necessarie. Tutte le misure effettuate (angolari e distanze) rientrano nei calcoli con un peso inversamente proporzionale allo scarto quadratico medio. Lo sqm può essere definito a priori associando alla stazione (dialogo “Tabella Dati”, pulsante ) uno strumento definito precedentemente, in cui sono definiti i valori per ogni tipo di lettura (azimutale, zenitale e distanza). Nel caso di misura iterata (strati di lettura), il programma calcola in automatico media e sqm delle letture ripetute, sostituendolo allo sqm a priori. Il calcolo viene effettuato in modo che , dove ‘s’ sono gli scarti residui alle letture. Nel caso particolare di compensazioni ai minimi quadrati vincolate nel calcolo vengono introdotte come termini noti le coordinate dei punti noti.

- rototraslazione sui punti di maggiore attendibilità: i punti e l’attendibilità vengono definiti nel dialogo Gestione punti noti: il rilievo, dopo essere stato compensato ai minimi quadrati internamente (quindi senza utilizzare coordinate di Punti noti), viene dapprima traslato sul punto più attendibile e quindi ruotato sul secondo punto più attendibile.

- rototraslazione ai minimi quadrati senza variazione di scala: dopo aver eseguito il calcolo con compensazione ai minimi quadrati senza l’uso dei punti noti viene eseguita una rototraslazione rigida in cui non si modifica la mutua posizione dei punti rototraslati (il baricentro del rilievo rimane inalterato) e si minimizza la distanza fra punti di rilievo calcolati e noti;

- rototraslazione ai minimi quadrati con variazione di scala isotropa o conforme: la variazione di scala ingrandisce o rimpicciolisce il rilievo, con il risultato di ridurre ulteriormente gli scarti residui fra punti calcolati e residui;

- rototraslazione ai minimi quadrati con variazione di scala anisotropa o differenziata: la variazione di scala è diversa in X, Y;

- compensazione empirica: ogni vertice viene traslato, di entità proporzionale allo sviluppo dei lati precedenti, nella stessa direzione e nello stesso senso dell’errore riscontrato.

 Ipotizziamo, in modo da ridurre le possibilità,  che i punti abbiano la medesima attendibilità, escludiamo anche la compensazione empirica e la variazione di scala anisotropa, e la nessuna compensazione.


In pratica, ci sono tre casi, di cui riporto il risultato del calcolo:

compensazione ai minimi quadrati vincolata
V100 3224.531 12293.662
V101 3311.788 12452.826
V102 3380.806 12610.046
V103 3473.772 12774.243
V104 3546.166 12938.506
V106 3610.158 13058.925
V108 3682.868 13148.988
V110 3800.831 13257.140
V111 3925.470 13361.292
V113 4027.717 13486.648
V114 4120.441 13640.513
V115 4225.596 13780.785
V116 4346.671 13976.673
V118 4442.427 14114.256
V120 4529.065 14203.915
V121 4649.753 14293.583
V123 4744.799 14394.817
V125 4839.838 14553.156
V126 4882.787 14701.559
V128 4937.742 14863.534
V130 5000.001 14999.999
V132 5114.689 15175.456
V133 5253.521 15359.984


rototraslazione ai minimi quadrati senza variazione di scala

V100 3224.521936 12293.643
V101 3311.776651 12452.807
V102 3380.794667 12610.031
V103 3473.760911 12774.231
V104 3546.154819 12938.496
V106 3610.147717 13058.918
V108 3682.859322 13148.982
V110 3800.824552 13257.136
V111 3925.465661 13361.289
V113 4027.71387 13486.646
V114 4120.439722 13640.513
V115 4225.597546 13780.787
V116 4346.67504 13976.676
V118 4442.432716 14114.261
V120 4529.072286 14203.922
V121 4649.762646 14293.590
V123 4744.810806 14394.826
V125 4839.850689 14553.168
V126 4882.800328 14701.573
V128 4937.755459 14863.550
V130 5000.015061 15000.017
V132 5114.697621 15175.471
V133 5253.527237 15360.001

rototraslazione ai minimi quadrati con variazione di scala isotropa o conforme
V100 3224.535 12293.663
V101 3311.788 12452.825
V102 3380.805 12610.047
V103 3473.770 12774.245
V104 3546.163 12938.507
V106 3610.155 13058.928
V108 3682.866 13148.991
V110 3800.830 13257.143
V111 3925.469 13361.295
V113 4027.716 13486.650
V114 4120.441 13640.515
V115 4225.597 13780.787
V116 4346.673 13976.674
V118 4442.430 14114.257
V120 4529.068 14203.917
V121 4649.757 14293.584
V123 4744.804 14394.818
V125 4839.842 14553.158
V126 4882.791 14701.561
V128 4937.746 14863.536
V130 5000.005 15000.001
V132 5114.686 15175.453
V133 5253.513 15359.980

I minimi quadrati e la rototraslazione con variazione di scala sono praticamente identici anche se, a mio avviso, è da preferire la seconda in quanto, in caso di errore sulle coordinate dei caposaldi, non inficierei la bontà delle misurate, ma solamente delle coordinate.

Quest'ultima caratteristica è molto simile alla calibrazione del GPS, nel caso si impieghi un fattore di scala adattato alle coordinate dei punti

Qualora le coordinate dei caposaldi non  fossero di attendibilità sufficiente, nel GPS si impiega un fattore di scala fisso, dato dalla quota sull'ellissoide di riferimento: in modo analogo, su Civil Design si può imporre la quota di progetto, dal menù imposta del calcolo planimetrico. In questo caso, andrà impiegata la rototraslazione senza variazione di scala.

L'altezza di progetto è, generalmente, l'altezza media del rilievo. E' da considerare che, se si usano le quote sul livello del mare, non andrà utilizzato WGS84 come ellissoide, nel caso dell'italia, ma Hayford 1909 (anche se sarebbe più corretto utilizzare Roma40, e chiamarlo Roma 40); in ogni caso va inserita la latitudine del luogo.

Cos’è una strada, ovvero che cosa ci serve sapere di una strada, non dico in fase di progettazione, per la quale ci sono una buona quantità di software e normative da seguire, ma proprio nella fase di che cosa è da tracciare.

Una strada, in linea di principio, è un insieme di rette unite da curve, più o meno complesse.

In linea generale, la sequenza è la seguente:

rettifilo

clotoide (o spirale)

arco di circonferenza (o cerchio)

clotoide (o spirale)

rettifilo

Faccio un esempio grafico.

Prendiamo due rettilinei lunghi 100:


supponiamo di volerli unire con una curva, di raggio 25: la curva non è altro che un cerchio tra i due rettifili

Creando un tracciato stradale da queste semplici informazioni, avremo il tracciato che segue:

Ricapitolando:

La strada comincia con un rettilineo alla progressiva 0

Il rettilineo è lungo 75 metri

Successivamente, ho una curva, raggio 25, che arriva fino a 114.27.

Il centro curva è rappresentato dalla progressiva 94.63.

La strada finisce alla progressiva 189.26

A titolo di esempio, possiamo inserire delle clotoidi, ovvero delle spirali a raggio variabile dall’infinito, sul rettilineo, al raggio di curvatura dell’arco.

Nel caso di esempio, inseriremo una clotoide in ingresso di 20 metri e una in uscita di 40 metri.

Ovviamente, questi parametri sono dettati dalla normativa. In questo caso li sto inventando.

In questo caso:

Da cui:

Rettilineo fino a 62.45

Clotoide fino a 82.45 (20 metri)

Cerchio da lì fino a 91.72

Lì comincia un'altra clotoide, che è lunga 40 metri.

Infine, il rettilineo.

Che cosa tracciare, quali sezioni sono da tracciare?

Teoricamente, tutte queste, più alcune intermedie, in dipendenza dall’oggetto (strada o galleria).

Come regola, l’ho imparata questa mattina, si può guardare la freccia o, meglio, la corda tra una sezione e la successiva.

Se 11 cm, in questa curva del tutto ipotetica, sono una quantità che posso permettere di lasciare stimare a chi materialmente costruirà la strada, posso usare le due sezioni, altrimenti ne dovrò mettere di intermedie.

Generalmente, le sezioni sono ogni 20 metri in rettilineo e ogni 10 in curva, a cui andrebbero aggiunti i punti “particolari”, ovvero inizio curva, inizio clotoide, etc etc.

I valori delle curve, vanno inseriti nei software di campagna; ho avuto modo di provarne tre di tre diverse marche (Trimble, Topcon, Leica).

Generalmente, è obbligatorio cominciare con un rettifilo, alcune volte finire con un rettilineo. Nel caso del nostro esempio, nessun problema. Occorre fare attenzione che il rettifilo iniziale, in alcuni software, determina l’orientamento dell’intera strada, per cui occorre, se malauguratamente il progettista ha cominciato con una curva, stimare la tangente nel punto finale della curva e allungarla di una decina o più di metri.

Altri software non sono in grado di gestire due clotoidi consecutive, per cui è obbligatorio inserire un segmentino tra le due clotoidi: si può aggiungere 1 mm di rettilineo, e magari togliere 1 mm di lunghezza a una delle due clotoidi, per rispettare la progressiva finale.

In generale, le curve vengono inserite in lunghezza, ovvero: data un raggio di curvatura, per esempio 25, viene chiesta la lunghezza della clotoide in ingresso, la lunghezza dell’arco di circonferenza a raggio costante, e infine la lunghezza della clotoide in uscita.

Appare evidente che, se inserisco dei valori sbagliati, anche di poco, posso determinare un errore di orientamento della strada. Se indico al software dello strumento, per esempio, che la lunghezza della clotoide finale è di 50  metri invece che 40, posso aspettarmi un risultato di questo tipo:

Molti software permettono di inserire non solamente gli elementi (rettilinei, archi, clotoidi) ma anche di effettuarne un controllo geometrico. Questo è possibile se, oltre al valore di progressiva, sono state inserite anche le coordinate. Generalmente, questo avviene nelle esportazioni dai software di progettazione stradale, o nelle conversioni tra formato strumento diverse, o in alcuni formati dati che, oltre al valore di progressiva, necessitano anche delle coordinate.

Se il controllo non è fornito direttamente dal software, possono essere eseguiti semplici controlli a campione sulle coordinate dei punti, sulla posizione delle sezioni, sulla progressiva finale (controllo che io faccio sempre a prescindere)

Sempre nel caso di esempio, supponiamo che vengano inseriti questi dati:

Progressiva 0: Rettilineo da 0,0 a 0,63

Progressiva 62.45: Clotoide lunga 20 metri.

Il software richiederà di correggere l’errore, ovvero utilizzare le coordinate della progressiva 62.45 e tagliare 0.55 cm di rettilineo.

Se l’errore dovesse essere molto elevato, è possibile che sia stato fatto un errore di inserendo i dati (per esempio, inserendo una curva verso destra in luogo di una curva verso sinistra.